Solución 025

En la Figura
::: M: Punto medio de AD
::: N: Punto medio de CD
::: M y N ∈ Plano Secante
::: Construímos dicho Plano Secante trazando PM y QN paralelas a BD
::: ☐PMNQ es la sección del Plano Secante pedido
::: En ΔABD, M es punto medio y PM // BD → PM = BD/2 = a/2
::: En ΔBCD, N es punto medio y QN // BD → QN = BD/2 = a/2
::: En ΔACD, M y N son puntos medios → MN = AC/2 = a/2
::: En ΔABC, P y Q resultan ser puntos medios → PQ = AC/2 = a/2

Finalmente
::: Perímetro de ☐PMNQ = PM + MN + QN + PQ = a/2 + a/2 + a/2 + a/2
::: ⇒ Perímetro de ☐PMNQ = 2a

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 024

::: K = { (-tan343º - tan107º) / (tan197º + tan73º) } · tan163º
::: Evaluando cada componente
::: tan343º = tan(360º - 17º) = -tan17º
::: tan107º = tan(90º + 17º) = -tan73º
::: tan197º = tan(180º + 17º) = tan17º
::: tan163º = tan(180º - 17º) = -tan17º
::: Reemplazando:
::: K = { (tan17º + tan73º) / (tan17º + tan73º) } · (-tan17º)
::: ⇒ K = -tan17º

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 023

::: x³ - 7x² + 15x - 9 = ( 1/log_x(3/5) )
::: notamos que: x > 0 ∧ x ≠ 1, debido a la función logaritmo.
::: Factorizando lado izquierdo de la ecuación:
::: x³ - 3x² - (4x² - 15x + 9)
::: x²(x - 3) - (4x - 3)(x - 3)
::: (x² - 4x + 3)(x - 3)
::: (x - 1)(x - 3)²
::: Lado derecho de la ecuación, aplicando propiedad: log_ab·log_ba = 1
::: → ( 1/log_x(3/5) ) = log_3/5x
::: ⇒ (x - 1)(x - 3)² = log_3/5x ; x > 0 ∧ x ≠ 1

Denominamos
::: f(x) = (x - 1)(x - 3)² ∧ g(x) = log_3/5x
::: graficamos f(x) y g(x) y obtenemos la Figura mostrada.
::: Observamos que f y g se cortan sólo en el punto x = 1, pero por condición, x ≠ 1
::: ∴ No hay elementos en el conjunto solución ⇒ Conjunto de elementos de S = 0

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 022

Calculamos potencias cúbicas
::: 20³ = 8000 ∧ 30³ = 27000
::: → 20³ < 1c8ab < 30³
::: ⇒ a = 2

Analizamos:
::: 1c82b = 2b³
::: por terminación de cifra, notamos:
::: b ∈ {1,4,5,6,9}
::: el único que cumple es para b = 4 , (24³ = 13824)

Finalmente
::: a = 2, b = 4 ∧ c = 3
::: ⇒ a + b - c = 3

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 021

Análisis de (I)
::: Y_A + Y_B = A·(sen(kx - ωt) + sen(kx + ωt))
::: Y_A + Y_B = 2Asen(kx)cos(ωt)
::: → Obtenemos una onda estacionaria de amplitud 2Asen(kx), donde la amplitud máxima es 2A.
::: ⇒ V

Análisis de (II)
::: Y_A + Y_C = A·(sen(kx - ωt) + sen(kx + ωt + π))
::: Y_A + Y_C = 2Asen(kx + π/2)cos(ωt + π/2)
::: Y_A + Y_C = -2Asen(kx + π/2)sen(ωt)
::: → Obtenemos una onda estacionaria.
::: ⇒ V

Análisis de (III)
::: Y_B + Y_C = A·(sen(kx + ωt) + sen(kx + ωt + π))
::: Aplicando: sen(π + α) = -senα
::: Y_B + Y_C = A·(sen(kx + ωt) - sen(kx + ωt))
::: Y_B + Y_C = 0
::: → Obtenemos una onda de amplitud cero.
::: ⇒ V

::: ∴ VVV

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 020

Ecuación
::: E_fotón = φ + E_k(máx)
::: → hν = φ + |q_e|V_frenado
::: Donde
::: ν: frecuencia de la radiación
::: φ: Función Trabajo
::: V_frenado: Potencial de frenado
::: q_e: Carga del electrón. Dado que se emplean las unidades de eV para la energía, entonces |q_e| = 1
::: ⇒ hν = φ + V_frenado . . . . . (α)

Análisis de (I)
::: Piden φ (mínima energía de los fotoelectrones para escapar con Energía cinética cero)
::: Del gráfico: Cuando ν = 6×10¹⁴ → V = 0,47
::: En (α): (4,13×10^-15)(6×10¹⁴) = φ + 0,47
::: → φ ≈ 2 eV
::: ⇒ (V)

Análisis de (II)
::: En (α) con E_k(máx) = 0 (o sea V_frenado = 0): hν_o = φ , (ν_o: frecuencia umbral)
::: → 4,13×10^-15×ν_o = 2
::: → ν_o ≈ 4,84×10¹⁴ Hz
::: → Se sabe que para frecuencias menores a ν_o no hay emisiones de fotoelectrones.
::: ⇒ (V)

Análisis de (III)
::: En: hν = φ + E_k(máx)
::: (4,13×10^-15)(12×10¹⁴) = 2 + E_k(máx)
::: → E_k(máx) ≈ 2,95 eV
::: ⇒ (F)

::: ∴ VVF

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 01f

::: Nos dicen que la OEM se propaga en el vacío. Por tanto su velocidad de propagación será: C = 3×10⁸ m/s
::: Se tiene: E = E_osen(kx - ωt), donde E_o es la amplitud de la onda eléctrica.
::: Similarmente: B = B_osen(kx - ωt), donde B_o es la amplitud de la onda magnética.
::: Por dato sabemos que E_o = 100.
::: Se sabe: C = E_o/B_o
::: → B_o = 100/(3×10⁸)
::: ⇒ B_o = 333×10^-9

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 01e

En el ciclo de Carnot se cumple:
::: Q₂/Q₁ = T₂/T₁
::: Expresando T₁ y T₂ en K y reemplazando
::: Q₂/6×10⁴ = 400/500
::: → Q₂ = 4,8×10⁴ Cal

Trabajo ejecutado por la máquina (W)
::: W = Q₁ - Q₂
::: W = 6×10⁴ - 4,8×10⁴
::: W = 1,2×10⁴ Cal = 12×10³ Cal
::: ⇒ W = 12 KCal

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 01d

Fórmula
::: P = V²/R_eq . . . . . (α)
::: Donde
::: P: Potencia
::: V: Voltaje
::: R_eq: Resistencia equivalente

::: Sea R la resistencia de los focos

Potencia en Serie (P_s)
::: R_eq = R + R = 2R
::: Usando (α): P_s = V²/2R = 100
::: ⇒ V²/R = 200 . . . . . (I)

Potencia en Paralelo (P_p)
::: 1/R_eq = 1/R + 1/R → R_eq = R/2
::: Usando (α): P_p = 2V²/R . . . . . (II)
::: Finalmente (I) en (II):
::: P_p = 400 W

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 01c

Fórmula (MCUV)
::: θ = ω_ot ± (1/2)αt² . . . . . (I)
::: Donde
::: θ: Ángulo barrido
::: ω_o: Rapidez angular inicial
::: α: Aceleración angular

Dato: Completa la primera vuelta en 1 s y ω_o = 0
::: → θ = 2π ∧ t = 1
::: En (I): 2π = (1/2)α(1)²
::: ⇒ α = 4π rad/s² . . . . . (II)

Piden: Tiempo t_m en dar la primera media vuelta
::: → θ = π ∧ t_m = ?
::: En (I), usando (II): π = (1/2)·4π·t_m²
::: ⇒ t_m = 1/√2 s

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 01b

Fórmula General (Para una pieza metálica)
::: L_F = L_o(1 + αΔT)
::: Donde
::: L_F: Longitud final
::: L_o: Longitud inicial
::: α: Coeficiente de dilatación lineal ( = 16,6×10^-6 ºC^-1)
::: ΔT: Variación de la temperatura ( = T_F - T_o)

El mínimo cambio de temperatura se produce cuando justo las piezas entran en contacto (como se muestra en la figura)
::: L_1F + L_2F = 2a + (a/1000) + a ; (usando los datos)
::: → 2a(1 + αΔT_min) + a(1 + αΔT_min) = 3a + (a/1000)
::: → 3aαΔT_min = (a/1000)
::: → 3×16,6×10^-6×ΔT_min = (1/1000)
::: ⇒ ΔT_min = 20.08 ºC

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 01a

Fórmula General
::: T = 2π√L/g
::: Donde
::: T: Periodo del Péndulo
::: L: Longitud del Péndulo
::: g: Aceleración de la gravedad

Al inicio
::: To = 2π√Lo/g . . . . . (I)
::: → Lo = To²g/4π² . . . . . (II)

Luego de aumentar la longitud
::: To + 1 = 2π√(Lo + 2)/g . . . . . (III)
::: De (I) y (III)
::: (To + 1)/To = √(Lo + 2)/Lo
::: 2To² = (2To + 1)Lo . . . . . (IV)

Finalmente: (II) en (IV)
::: → To = (1/2)[(8π²/g) - 1]
::: ⇒ To = 3,52 s

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 019

::: Sea ∠BAC = α → ∠CDB = 4α ∧ ∠ACB = 5α
::: → ∠CBD = α
::: ΔABD ~ ΔBCD
::: (x + CD)/BD = BD/CD
::: x = BD²/CD - CD . . . . . (I)

::: BD²/CD = (100/3)·[√3/(20 - 10√3)]
::: BD²/CD = (10/3)·[√3/(2 - √3)]
::: BD²/CD = (10/3)·(2√3 + 3) = (20/√3) + 10

Finalmente en (I)
::: x = (20/√3) + 10 - [(20/√3) - 10]
::: ⇒ x = 20

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 018

Análisis de I
::: eⁱⁿ - 1 = 0
::: eⁱⁿ = cos(n) + isen(n) = 1
::: cos(n) = 1 → n = 2kπ, k ∈ Z
::: → n 'no ∈' N y sus valores se encuentran a lo largo de la recta real (no forman ningún polígono)
::: → (F)

Análisis de II
::: e^iθ = a + ib = cosθ + isenθ
::: a = cosθ ∧ b = senθ
::: (π/4) < θ < (3π/4)
::: Para el caso particular: θ₁ = π/2 ∈ <π/4;3π/4>
::: Se cumple que b = senθ₁ = 1 'no ∈' <√2/2 ; 1>
::: Claramente en la Fig. para (π/4) < θ < (3π/4)
::: → -(√2/2) < a < (√2/2) ∧ (√2/2) < b ≤ 1
::: → (F)

Análisis de III
::: α, β ∈ <0;2π> ∧ β > α
::: cosα = cosβ → α + β = 2π
::: → e^{i(α + β)} = e^i(2π) = 1
::: →(V)

::: ⇒ Solo III

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 017

Definición de Función
::: ƒ es una función de A en B ↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B ⁄ (x;y) ∈ ƒ

Análisis de I
::: (x;y) ∈ ƒ ∧ (x;z) ∈ ƒ ⇒ y = z
::: Definición de función.
::: (Dos pares ordenados diferentes de ƒ no tienen la misma primera componente)
::: ∴ (V)

Análisis de II
::: Fig. 1: ƒ es sobreyectiva
::: pero no es inyectiva
::: ∴ (F)

Análisis de III
::: Fig. 2: ƒ es inyectiva
::: pero no es sobreyectiva
::: ∴ (F)

::: ⇒ VFF

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 016

Dato
::: PB ⊥ ☐ABCD
::: M: punto medio de AD
::: N: punto medio de CD

::: Se ha trazado: BT ⊥ MN
::: → PT ⊥ MN
::: → θ = medida del diedro P-MN-B
::: tanθ = 2/BT . . . . . (I)

::: ∠NMD = ∠AMT = β = ∠SBA
::: ⊿SBA ≡ ⊿NMD
::: → AS = 1 ∴ SM = 1

BT
::: En ⊿SBA: BS = √5
::: ⊿SBA ~ ⊿SMT → ST = √5/5
::: BT = BS + ST = √5 + (√5/5)
::: ⇒ BT = 6√5/5

En (I)
::: tanθ = √5/3
::: ∴ θ = arc tan (√5/3)

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 015

En la figura, BM y BN representan las longitudes de los postes que cumplen las condiciones del problema

BM
::: ∠BMA = 45º
::: Ley de Senos en ΔBMA ↓
::: (BM/sen60º) = (20/sen45º)
::: BM = 20sen60º/sen45º
::: ⇒ BM ≈ 24,5 m

BN
::: ∠BNA = 15º
::: Ley de Senos en ΔBNA ↓
::: (BN/sen60º) = (20/sen15º)
::: BN = 20sen60º/sen15º
::: ⇒ BN ≈ 66,9 m

Finalmente
::: ∴ Longitud del Poste = 24,5 m
::: Por que la otra posibilidad no aparece representada en las opciones de respuesta.

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 014

::: Notación: º3 ≡ Múltiplo de 3

Análisis de I
::: m y n no son divisibles por 3 ⇒
::: m = º3 + 1 ∨ m = º3 + 2
::: n = º3 + 1 ∨ n = º3 + 2
::: Analizando todas las posibilidades se tiene que
::: (m + n) ó (m - n) es º3 ⇒ (V)

Análisis de II
::: 0 < n < m
::: 0 < 3k₁ < 3k₂ , k₁ ∧ k₂ ∈ Z⁺
::: (m/n) = (k₂/k₁) puede ser cualquier número racional que cumpla k₁ < k₂
::: (F)

Análisis de III
::: m, n >0
::: m = 3p y n = 3q
::: MCD(m,n) = MCD(3p,3q) = 3MCD(p,q) = º3
::: (V)

::: ⇒ VFV

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 013

Datos
::: N₁ = 6^3a+1 × 8^a
::: N₂ = 8^a × 3^3a+1

Descomposición canónica
::: N₁ = 2^6a+1 × 3^3a+1
::: N₂ = 2^3a × 3^3a+1

Condición
::: Cantidad de divisores de N₁ = Cantidad de divisores de N₂ + 20
::: (6a + 2)(3a + 2) = (3a + 1)(3a + 2) + 20
::: 2(3a + 1)(3a + 2) = (3a + 1)(3a + 2) + 20
::: (3a + 1)(3a + 2) = 20 = 4×5
::: 3a + 1 = 4 → a = 1

Finalmente
::: ⇒ 2a - 1 = 1

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 012

Factorizamos la ecuación
::: 2sen³x + sen²x - 2senx -1 = 0; 0 ≤ x ≤ 2π
::: sen²x(2senx + 1) - (2senx + 1) = 0
::: (sen²x - 1)(2senx + 1) = 0
::: (senx - 1)(senx + 1)(2senx + 1) = 0

::: Para senx = 1 → x = π/2
::: Para senx = -1 → x = 3π/2
::: Para senx = (-1/2) → x = 7π/6; x = 11π/6

Sumando
::: π/2 + 3π/2 + 7π/6 + 11π/6 = 5π

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 011

Si el número 1234 se escribe con 3 cifras en el sistema de numeración de base "n", entonces, se cumple
::: 100_(n) ≤ 1234 < 1000_(n)
::: → n² ≤ 1234 < n³
::: → ³√1234 < n ≤ √1234

Analizando
::: ³√1234 es mayor que 10, pero menor que 11
::: √1234 es mayor que 35, pero menor que 36
::: → (10 y algo) < n ≤ (35 y algo)
::: → n = 11 ; 12 ; 13 ; ... ; 35
::: ⇒ Existen 25 sistemas de numeración que cumplen la condición

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 010

La ecuación de movimiento:
::: x = 0,5sen(2πt)
depende de la función armónica seno → la partícula realiza un movimiento armónico simple (MAS), donde
::: ω = 2π (frecuencia cíclica)
::: A = 0,5 (Amplitud)

Se sabe que la rapidez v viene expresada por
::: v = ω·√A·A - x·x . . . . . (I)

Para x = -0,3; reemplazando datos en (I)
::: v = 2π·√(0,5)·(0,5) - (-0,3)·(-0,3)
::: ∴ v = 0,8·π m/s

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 00f

Tenemos
::: P_P = P_H + P_S . . . . . (I)
Donde
::: P_P: presión en el punto P
::: P_H: presión hidroestática debida al líquido
::: P_S: presión en la superficie del líquido

Se sabe
::: P_H = ρgh

Reemplazando datos en (I)
::: 2 (atm) = ρgh (Pa) + 74,1 (cm Hg) . . . . . (II)

Piden h en metros, ∴ expresamos todo en el S.I. (Sistema Internacional de Unidades)
::: 1 atm = 10⁵ Pa
::: 76 cm Hg = 10⁵ Pa ⇒ 1 cm Hg = (10⁵/76) Pa

Ahora en (II)
::: 2×10⁵ = 1000×9,81×h + 74,1×(10⁵/76)
::: ⇒ h ≈ 10,45 m

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 00e

Tenemos
::: g_P = (GM_T/d²), con d ≥ R_T
Donde
::: g_P: aceleración de la gravedad en el punto P
::: G: Constante de gravitación universal
::: M_T: Masa de la Tierra
::: d: distancia del punto P al centro de la Tierra
::: R_T: Radio de la Tierra (= 6370 Km)

En la superficie de la Tierra (d = R_T)
::: g_S = (GM_T/R_T²) = 9,81

Sea el punto H (ubicado a altura del avión con h = 12 Km)
::: g_H = (GM_T/(R_T + h)²)
::: g_H = (GM_T/R_T²)(1/(1 + h/R_T)²)
::: g_H = 9,81×(1/(1 + 12/6370)²) = 9,7731

Finalmente
::: g_S - g_H = 0,0369 ≈ 0,04

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 00d

En la figura
::: AO: Bisectriz interior del ángulo A
::: CO: Bisectriz exterior del ángulo C
::: CI: Bisectriz interior del ángulo C
::: → CI ⊥ CO → m∠ICO = 90º

Dato
::: m∠AIC + m∠COA = 150º . . . . . (I)

En el ΔICO
::: m∠AIC = m∠COA + 90º . . . . . (II)

Reemplazando (II) en (I)
::: 2m∠COA + 90º = 150º
::: ⇒ x = m∠COA = 30º

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 00c

En la figura
::: MO: Bisectriz del ∠AMC
::: NO: Bisectriz del ∠ANC

En cuadrilátero BMDN
::: ∠MDN = ∠B + ∠M + ∠N
::: Pero ∠MDN = ∠ADC
::: → ∠ADC = ∠B + ∠M +∠N

En cuadrilátero ABCD
::: Σ(Todos los ángulos internos) = 360º
::: 70º + ∠B + 80º + (∠B + ∠M +∠N) = 360º
::: 2∠B + ∠M + ∠N = 210º . . . . . (I)

En cuadrilátero BMON
::: x = ∠B + ∠(M/2) +∠(N/2)
::: ⇒ 2x = 2∠B + ∠M + ∠N . . . . . (II)

::: ∴ de (I) y (II): x = 105º

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 00b

En el siguiente gráfico se tienen 2 protones separados una distancia d.

::: F_E: Fuerza Eléctrica
::: F_G: Fuerza Gravitatoria
::: m_p: Masa del protón
::: q: Carga que debería tener el protón para satisfacer la condición

Condición
::: F_E = F_G

Reemplazando y operando
::: (Kqq/d²) = (Gm_pm_p/d²)
::: Kq² = Gm_p²
::: 9×10⁹×q² = 6,67×10^-11×(1,67×10^-27)²
::: ∴ q ≈ 1,43×10^-37 C

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 00a

Denominamos:
::: M: Cantidad de libros de Matemática
::: L: Cantidad de libros de Literatura

Sabemos
::: M + L = 72
::: (M/L) = (5/3) ⇒ M = 5k, L = 3k
::: Luego: M + L = 8k = 72 → k = 9
::: ⇒ M = 45; L = 27

Nueva condición
::: Cantidad de libros de Matemática: M
::: Cantidad de libros de Literatura: L + x
::: Para que: [M/(L + x)] = (9/10)
::: [45/(27 + x)] = (9/10) ⇒ x = 23

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 009

Tenemos el siguiente gráfico:
::: A_ΔABC: Área de la región triangular
::: 2p: Perímetro de la región triangular

Dato
::: πr² = 9π; ⇒ r = 3

Otro dato
::: A_ΔABC = (9/2)(√2 + 2)² = 9(3 + 2√2)

Sabemos
::: A_ΔABC = pr
::: ⇒ 3p = 9(3 + 2√2)
::: ∴ 2p = 6(3 + 2√2)

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 008

::: S: Área de la región triangular

Nos piden 2S.
::: 2S = ac sen(26º30')
::: 2S = sen27ºcos26ºsen(26º30')
::: 4S = [2sen27ºcos26º]sen(26º30')
::: 4S = [sen53º + sen1º]sen(26º30')

Así tenemos:
::: sen(26º30') = √5/5

Finalmente:
::: 4S = [(4/5) + (7/400)](√5/5)
::: 4S = (327/2000)√5
::: 2S = (327/4000)√5

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 007

Donde:
::: N: Número total de alumnos del colegio
::: D: Número total de alumnos que desaprobaron ambos cursos

Como los que aprobaron Aritmética son 60%N, entonces el resto de alumnos suman 40%N
::: 40%N = (32%N - 42) + D
::: D = 8%N + 42

Por dato:
::: 42 = 60%D
::: 42 = 60%(8%N + 42)
::: 70 = 8%N + 42
::: 28 = 8%N
::: N = 350

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 006

Debemos calcular el valor de:
::: E = y₁²y₂ + y₁y₂²
::: E = y₁y₂(y₁ + y₂)

::: Propiedad:
::: Para toda ecuación de la forma: x² + Mx + N = 0, de raíces x₁ y x₂ se tiene que:
::: x₁ + x₂ = -M
::: x₁x₂ = N

Aplicando la propiedad a: x² - (a + d)x + ad - bc = 0, con x₁ = 3 ;y; x₂ = 5, obtenemos:
::: a + d = 8
::: ad - bc = 15

Aplicando la propiedad a: y² - (a³ + d³ + 3abc + 3bcd)y + (ad - bc)³ = 0, con y₁ ;e; y₂, obtenemos:
::: y₁ + y₂ = a³ + d³ + 3abc + 3bcd . . . . . (I)
::: y₁y₂ = (ad - bc)³ = 15³ . . . . . (II)

Desarrollando (I):
::: Sabemos: (a + d)³ = a³ + d³ + 3ad(a + d), luego:
::: y₁ + y₂ = (a + d)³ - 3ad(a + d) + 3bc(a + d)
::: y₁ + y₂ = (a + d)³ - 3(a + d)(ad - bc)
::: y₁ + y₂ = 8³ - 3×8×15 = 152 . . . . . (III)

Con (II) y (III) en E:
::: E = 15³×152 = 513000

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 005

Inicialmente se tiene el siguiente circuito.

De donde: q₁ = C₁V₀ => q₁ = 60 nC
::: Aquí q₁ es la carga almacenada en C₁.

Luego de retirar la fuente, se conecta el capacitor C₂ al capacitor C₁. Ocurre una redistribución de la carga, hasta que ambos adquieren el mismo voltaje V' (conexión en paralelo).

Tenemos que:
::: V' = q₁'/C₁ ; y también:
::: V' = q₂'/C₂ =>
::: q₁' = (2q₂'/5)

Observar que la cantidad de carga se conserva.
::: q₁ = q₁' + q₂'
::: q₁ = (2q₂'/5) + q₂' = (7q₂'/5)
::: q₁ = (7q₂'/5) ; pero sabemos q₁ = 60 nC
::: q₂' = 42,85 nC

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 004

Para la lente A se tiene:
(1/f_A) = (1/θ₁) + (1/i₁)
::: donde:
::: f_A : distancia focal de A
::: θ₁ : distancia objeto
::: i₁ : distancia imagen

(1/10) = (1/15) + (1/i₁) => i₁ = 30 cm

Luego la lente B:

(1/f_B) = (1/θ₂) + (1/i₂)
::: donde:
::: f_B : distancia focal de B
::: θ₂ : distancia objeto
::: i₂ : distancia imagen

(1/10) = 1/(x - 30) + (1/15) => x = 60 cm

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: FISICA

Solución 003

A + B + C = 180º => senA = sen(180º - (B + C)) = sen(B + C)
2A + 2B + 2C = 360º => sen2A = sen(360º - (2B + 2C)) = -sen(2B + 2C)

Sea: F = (F_N / F_D)

::: F_N = sen2A + sen2B + sen2C = -sen(2B + 2C) + sen2B + sen2C
::: F_N = -sen2Bcos2C - cos2Bsen2C + sen2B + sen2C
::: F_N = (1 - cos2C)sen2B + (1 - cos2B)sen2C
::: F_N = 2sen²Csen2B + 2sen²Bsen2C
::: F_N = (2sen²C)(2senBcosB) + (2sen²B)(2senCcosC)
::: F_N = 4senBsenC(cosBsenC + cosCsenB) = 4senBsenCsen(B + C)
::: F_N = 4senAsenBsenC

::: F_D = senAsenBsenC

Finalmente: F = (F_N / F_D) = 4

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 002

Se trazan 2 rectas que son paralelas a las respectivas mostradas en la figura.

De donde: β + 35º + 22º = 110º => β = 53º

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA

Solución 001

VOLVER A LA PREGUNTA ::: UNI 2010-I: MATEMATICA