Solución 006

Debemos calcular el valor de:
::: E = y₁²y₂ + y₁y₂²
::: E = y₁y₂(y₁ + y₂)

::: Propiedad:
::: Para toda ecuación de la forma: x² + Mx + N = 0, de raíces x₁ y x₂ se tiene que:
::: x₁ + x₂ = -M
::: x₁x₂ = N

Aplicando la propiedad a: x² - (a + d)x + ad - bc = 0, con x₁ = 3 ;y; x₂ = 5, obtenemos:
::: a + d = 8
::: ad - bc = 15

Aplicando la propiedad a: y² - (a³ + d³ + 3abc + 3bcd)y + (ad - bc)³ = 0, con y₁ ;e; y₂, obtenemos:
::: y₁ + y₂ = a³ + d³ + 3abc + 3bcd . . . . . (I)
::: y₁y₂ = (ad - bc)³ = 15³ . . . . . (II)

Desarrollando (I):
::: Sabemos: (a + d)³ = a³ + d³ + 3ad(a + d), luego:
::: y₁ + y₂ = (a + d)³ - 3ad(a + d) + 3bc(a + d)
::: y₁ + y₂ = (a + d)³ - 3(a + d)(ad - bc)
::: y₁ + y₂ = 8³ - 3×8×15 = 152 . . . . . (III)

Con (II) y (III) en E:
::: E = 15³×152 = 513000

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