Solución 025

En la Figura
::: M: Punto medio de AD
::: N: Punto medio de CD
::: M y N ∈ Plano Secante
::: Construímos dicho Plano Secante trazando PM y QN paralelas a BD
::: ☐PMNQ es la sección del Plano Secante pedido
::: En ΔABD, M es punto medio y PM // BD → PM = BD/2 = a/2
::: En ΔBCD, N es punto medio y QN // BD → QN = BD/2 = a/2
::: En ΔACD, M y N son puntos medios → MN = AC/2 = a/2
::: En ΔABC, P y Q resultan ser puntos medios → PQ = AC/2 = a/2

Finalmente
::: Perímetro de ☐PMNQ = PM + MN + QN + PQ = a/2 + a/2 + a/2 + a/2
::: ⇒ Perímetro de ☐PMNQ = 2a

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Solución 024

::: K = { (-tan343º - tan107º) / (tan197º + tan73º) } · tan163º
::: Evaluando cada componente
::: tan343º = tan(360º - 17º) = -tan17º
::: tan107º = tan(90º + 17º) = -tan73º
::: tan197º = tan(180º + 17º) = tan17º
::: tan163º = tan(180º - 17º) = -tan17º
::: Reemplazando:
::: K = { (tan17º + tan73º) / (tan17º + tan73º) } · (-tan17º)
::: ⇒ K = -tan17º

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Solución 023

::: x³ - 7x² + 15x - 9 = ( 1/log_x(3/5) )
::: notamos que: x > 0 ∧ x ≠ 1, debido a la función logaritmo.
::: Factorizando lado izquierdo de la ecuación:
::: x³ - 3x² - (4x² - 15x + 9)
::: x²(x - 3) - (4x - 3)(x - 3)
::: (x² - 4x + 3)(x - 3)
::: (x - 1)(x - 3)²
::: Lado derecho de la ecuación, aplicando propiedad: log_ab·log_ba = 1
::: → ( 1/log_x(3/5) ) = log_3/5x
::: ⇒ (x - 1)(x - 3)² = log_3/5x ; x > 0 ∧ x ≠ 1

Denominamos
::: f(x) = (x - 1)(x - 3)² ∧ g(x) = log_3/5x
::: graficamos f(x) y g(x) y obtenemos la Figura mostrada.
::: Observamos que f y g se cortan sólo en el punto x = 1, pero por condición, x ≠ 1
::: ∴ No hay elementos en el conjunto solución ⇒ Conjunto de elementos de S = 0

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Solución 022

Calculamos potencias cúbicas
::: 20³ = 8000 ∧ 30³ = 27000
::: → 20³ < 1c8ab < 30³
::: ⇒ a = 2

Analizamos:
::: 1c82b = 2b³
::: por terminación de cifra, notamos:
::: b ∈ {1,4,5,6,9}
::: el único que cumple es para b = 4 , (24³ = 13824)

Finalmente
::: a = 2, b = 4 ∧ c = 3
::: ⇒ a + b - c = 3

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Solución 019

::: Sea ∠BAC = α → ∠CDB = 4α ∧ ∠ACB = 5α
::: → ∠CBD = α
::: ΔABD ~ ΔBCD
::: (x + CD)/BD = BD/CD
::: x = BD²/CD - CD . . . . . (I)

::: BD²/CD = (100/3)·[√3/(20 - 10√3)]
::: BD²/CD = (10/3)·[√3/(2 - √3)]
::: BD²/CD = (10/3)·(2√3 + 3) = (20/√3) + 10

Finalmente en (I)
::: x = (20/√3) + 10 - [(20/√3) - 10]
::: ⇒ x = 20

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Solución 018

Análisis de I
::: eⁱⁿ - 1 = 0
::: eⁱⁿ = cos(n) + isen(n) = 1
::: cos(n) = 1 → n = 2kπ, k ∈ Z
::: → n 'no ∈' N y sus valores se encuentran a lo largo de la recta real (no forman ningún polígono)
::: → (F)

Análisis de II
::: e^iθ = a + ib = cosθ + isenθ
::: a = cosθ ∧ b = senθ
::: (π/4) < θ < (3π/4)
::: Para el caso particular: θ₁ = π/2 ∈ <π/4;3π/4>
::: Se cumple que b = senθ₁ = 1 'no ∈' <√2/2 ; 1>
::: Claramente en la Fig. para (π/4) < θ < (3π/4)
::: → -(√2/2) < a < (√2/2) ∧ (√2/2) < b ≤ 1
::: → (F)

Análisis de III
::: α, β ∈ <0;2π> ∧ β > α
::: cosα = cosβ → α + β = 2π
::: → e^{i(α + β)} = e^i(2π) = 1
::: →(V)

::: ⇒ Solo III

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Solución 017

Definición de Función
::: ƒ es una función de A en B ↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B ⁄ (x;y) ∈ ƒ

Análisis de I
::: (x;y) ∈ ƒ ∧ (x;z) ∈ ƒ ⇒ y = z
::: Definición de función.
::: (Dos pares ordenados diferentes de ƒ no tienen la misma primera componente)
::: ∴ (V)

Análisis de II
::: Fig. 1: ƒ es sobreyectiva
::: pero no es inyectiva
::: ∴ (F)

Análisis de III
::: Fig. 2: ƒ es inyectiva
::: pero no es sobreyectiva
::: ∴ (F)

::: ⇒ VFF

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Solución 016

Dato
::: PB ⊥ ☐ABCD
::: M: punto medio de AD
::: N: punto medio de CD

::: Se ha trazado: BT ⊥ MN
::: → PT ⊥ MN
::: → θ = medida del diedro P-MN-B
::: tanθ = 2/BT . . . . . (I)

::: ∠NMD = ∠AMT = β = ∠SBA
::: ⊿SBA ≡ ⊿NMD
::: → AS = 1 ∴ SM = 1

BT
::: En ⊿SBA: BS = √5
::: ⊿SBA ~ ⊿SMT → ST = √5/5
::: BT = BS + ST = √5 + (√5/5)
::: ⇒ BT = 6√5/5

En (I)
::: tanθ = √5/3
::: ∴ θ = arc tan (√5/3)

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Solución 015

En la figura, BM y BN representan las longitudes de los postes que cumplen las condiciones del problema

BM
::: ∠BMA = 45º
::: Ley de Senos en ΔBMA ↓
::: (BM/sen60º) = (20/sen45º)
::: BM = 20sen60º/sen45º
::: ⇒ BM ≈ 24,5 m

BN
::: ∠BNA = 15º
::: Ley de Senos en ΔBNA ↓
::: (BN/sen60º) = (20/sen15º)
::: BN = 20sen60º/sen15º
::: ⇒ BN ≈ 66,9 m

Finalmente
::: ∴ Longitud del Poste = 24,5 m
::: Por que la otra posibilidad no aparece representada en las opciones de respuesta.

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Solución 014

::: Notación: º3 ≡ Múltiplo de 3

Análisis de I
::: m y n no son divisibles por 3 ⇒
::: m = º3 + 1 ∨ m = º3 + 2
::: n = º3 + 1 ∨ n = º3 + 2
::: Analizando todas las posibilidades se tiene que
::: (m + n) ó (m - n) es º3 ⇒ (V)

Análisis de II
::: 0 < n < m
::: 0 < 3k₁ < 3k₂ , k₁ ∧ k₂ ∈ Z⁺
::: (m/n) = (k₂/k₁) puede ser cualquier número racional que cumpla k₁ < k₂
::: (F)

Análisis de III
::: m, n >0
::: m = 3p y n = 3q
::: MCD(m,n) = MCD(3p,3q) = 3MCD(p,q) = º3
::: (V)

::: ⇒ VFV

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Solución 013

Datos
::: N₁ = 6^3a+1 × 8^a
::: N₂ = 8^a × 3^3a+1

Descomposición canónica
::: N₁ = 2^6a+1 × 3^3a+1
::: N₂ = 2^3a × 3^3a+1

Condición
::: Cantidad de divisores de N₁ = Cantidad de divisores de N₂ + 20
::: (6a + 2)(3a + 2) = (3a + 1)(3a + 2) + 20
::: 2(3a + 1)(3a + 2) = (3a + 1)(3a + 2) + 20
::: (3a + 1)(3a + 2) = 20 = 4×5
::: 3a + 1 = 4 → a = 1

Finalmente
::: ⇒ 2a - 1 = 1

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Solución 012

Factorizamos la ecuación
::: 2sen³x + sen²x - 2senx -1 = 0; 0 ≤ x ≤ 2π
::: sen²x(2senx + 1) - (2senx + 1) = 0
::: (sen²x - 1)(2senx + 1) = 0
::: (senx - 1)(senx + 1)(2senx + 1) = 0

::: Para senx = 1 → x = π/2
::: Para senx = -1 → x = 3π/2
::: Para senx = (-1/2) → x = 7π/6; x = 11π/6

Sumando
::: π/2 + 3π/2 + 7π/6 + 11π/6 = 5π

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Solución 011

Si el número 1234 se escribe con 3 cifras en el sistema de numeración de base "n", entonces, se cumple
::: 100_(n) ≤ 1234 < 1000_(n)
::: → n² ≤ 1234 < n³
::: → ³√1234 < n ≤ √1234

Analizando
::: ³√1234 es mayor que 10, pero menor que 11
::: √1234 es mayor que 35, pero menor que 36
::: → (10 y algo) < n ≤ (35 y algo)
::: → n = 11 ; 12 ; 13 ; ... ; 35
::: ⇒ Existen 25 sistemas de numeración que cumplen la condición

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Solución 00d

En la figura
::: AO: Bisectriz interior del ángulo A
::: CO: Bisectriz exterior del ángulo C
::: CI: Bisectriz interior del ángulo C
::: → CI ⊥ CO → m∠ICO = 90º

Dato
::: m∠AIC + m∠COA = 150º . . . . . (I)

En el ΔICO
::: m∠AIC = m∠COA + 90º . . . . . (II)

Reemplazando (II) en (I)
::: 2m∠COA + 90º = 150º
::: ⇒ x = m∠COA = 30º

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Solución 00c

En la figura
::: MO: Bisectriz del ∠AMC
::: NO: Bisectriz del ∠ANC

En cuadrilátero BMDN
::: ∠MDN = ∠B + ∠M + ∠N
::: Pero ∠MDN = ∠ADC
::: → ∠ADC = ∠B + ∠M +∠N

En cuadrilátero ABCD
::: Σ(Todos los ángulos internos) = 360º
::: 70º + ∠B + 80º + (∠B + ∠M +∠N) = 360º
::: 2∠B + ∠M + ∠N = 210º . . . . . (I)

En cuadrilátero BMON
::: x = ∠B + ∠(M/2) +∠(N/2)
::: ⇒ 2x = 2∠B + ∠M + ∠N . . . . . (II)

::: ∴ de (I) y (II): x = 105º

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Solución 00a

Denominamos:
::: M: Cantidad de libros de Matemática
::: L: Cantidad de libros de Literatura

Sabemos
::: M + L = 72
::: (M/L) = (5/3) ⇒ M = 5k, L = 3k
::: Luego: M + L = 8k = 72 → k = 9
::: ⇒ M = 45; L = 27

Nueva condición
::: Cantidad de libros de Matemática: M
::: Cantidad de libros de Literatura: L + x
::: Para que: [M/(L + x)] = (9/10)
::: [45/(27 + x)] = (9/10) ⇒ x = 23

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Solución 009

Tenemos el siguiente gráfico:
::: A_ΔABC: Área de la región triangular
::: 2p: Perímetro de la región triangular

Dato
::: πr² = 9π; ⇒ r = 3

Otro dato
::: A_ΔABC = (9/2)(√2 + 2)² = 9(3 + 2√2)

Sabemos
::: A_ΔABC = pr
::: ⇒ 3p = 9(3 + 2√2)
::: ∴ 2p = 6(3 + 2√2)

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Solución 008

::: S: Área de la región triangular

Nos piden 2S.
::: 2S = ac sen(26º30')
::: 2S = sen27ºcos26ºsen(26º30')
::: 4S = [2sen27ºcos26º]sen(26º30')
::: 4S = [sen53º + sen1º]sen(26º30')

Así tenemos:
::: sen(26º30') = √5/5

Finalmente:
::: 4S = [(4/5) + (7/400)](√5/5)
::: 4S = (327/2000)√5
::: 2S = (327/4000)√5

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Solución 007

Donde:
::: N: Número total de alumnos del colegio
::: D: Número total de alumnos que desaprobaron ambos cursos

Como los que aprobaron Aritmética son 60%N, entonces el resto de alumnos suman 40%N
::: 40%N = (32%N - 42) + D
::: D = 8%N + 42

Por dato:
::: 42 = 60%D
::: 42 = 60%(8%N + 42)
::: 70 = 8%N + 42
::: 28 = 8%N
::: N = 350

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Solución 006

Debemos calcular el valor de:
::: E = y₁²y₂ + y₁y₂²
::: E = y₁y₂(y₁ + y₂)

::: Propiedad:
::: Para toda ecuación de la forma: x² + Mx + N = 0, de raíces x₁ y x₂ se tiene que:
::: x₁ + x₂ = -M
::: x₁x₂ = N

Aplicando la propiedad a: x² - (a + d)x + ad - bc = 0, con x₁ = 3 ;y; x₂ = 5, obtenemos:
::: a + d = 8
::: ad - bc = 15

Aplicando la propiedad a: y² - (a³ + d³ + 3abc + 3bcd)y + (ad - bc)³ = 0, con y₁ ;e; y₂, obtenemos:
::: y₁ + y₂ = a³ + d³ + 3abc + 3bcd . . . . . (I)
::: y₁y₂ = (ad - bc)³ = 15³ . . . . . (II)

Desarrollando (I):
::: Sabemos: (a + d)³ = a³ + d³ + 3ad(a + d), luego:
::: y₁ + y₂ = (a + d)³ - 3ad(a + d) + 3bc(a + d)
::: y₁ + y₂ = (a + d)³ - 3(a + d)(ad - bc)
::: y₁ + y₂ = 8³ - 3×8×15 = 152 . . . . . (III)

Con (II) y (III) en E:
::: E = 15³×152 = 513000

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