Solución 025

En la Figura
::: M: Punto medio de AD
::: N: Punto medio de CD
::: M y N ∈ Plano Secante
::: Construímos dicho Plano Secante trazando PM y QN paralelas a BD
::: ☐PMNQ es la sección del Plano Secante pedido
::: En ΔABD, M es punto medio y PM // BD → PM = BD/2 = a/2
::: En ΔBCD, N es punto medio y QN // BD → QN = BD/2 = a/2
::: En ΔACD, M y N son puntos medios → MN = AC/2 = a/2
::: En ΔABC, P y Q resultan ser puntos medios → PQ = AC/2 = a/2

Finalmente
::: Perímetro de ☐PMNQ = PM + MN + QN + PQ = a/2 + a/2 + a/2 + a/2
::: ⇒ Perímetro de ☐PMNQ = 2a

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Solución 024

::: K = { (-tan343º - tan107º) / (tan197º + tan73º) } · tan163º
::: Evaluando cada componente
::: tan343º = tan(360º - 17º) = -tan17º
::: tan107º = tan(90º + 17º) = -tan73º
::: tan197º = tan(180º + 17º) = tan17º
::: tan163º = tan(180º - 17º) = -tan17º
::: Reemplazando:
::: K = { (tan17º + tan73º) / (tan17º + tan73º) } · (-tan17º)
::: ⇒ K = -tan17º

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Solución 023

::: x³ - 7x² + 15x - 9 = ( 1/log_x(3/5) )
::: notamos que: x > 0 ∧ x ≠ 1, debido a la función logaritmo.
::: Factorizando lado izquierdo de la ecuación:
::: x³ - 3x² - (4x² - 15x + 9)
::: x²(x - 3) - (4x - 3)(x - 3)
::: (x² - 4x + 3)(x - 3)
::: (x - 1)(x - 3)²
::: Lado derecho de la ecuación, aplicando propiedad: log_ab·log_ba = 1
::: → ( 1/log_x(3/5) ) = log_3/5x
::: ⇒ (x - 1)(x - 3)² = log_3/5x ; x > 0 ∧ x ≠ 1

Denominamos
::: f(x) = (x - 1)(x - 3)² ∧ g(x) = log_3/5x
::: graficamos f(x) y g(x) y obtenemos la Figura mostrada.
::: Observamos que f y g se cortan sólo en el punto x = 1, pero por condición, x ≠ 1
::: ∴ No hay elementos en el conjunto solución ⇒ Conjunto de elementos de S = 0

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Solución 022

Calculamos potencias cúbicas
::: 20³ = 8000 ∧ 30³ = 27000
::: → 20³ < 1c8ab < 30³
::: ⇒ a = 2

Analizamos:
::: 1c82b = 2b³
::: por terminación de cifra, notamos:
::: b ∈ {1,4,5,6,9}
::: el único que cumple es para b = 4 , (24³ = 13824)

Finalmente
::: a = 2, b = 4 ∧ c = 3
::: ⇒ a + b - c = 3

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Solución 021

Análisis de (I)
::: Y_A + Y_B = A·(sen(kx - ωt) + sen(kx + ωt))
::: Y_A + Y_B = 2Asen(kx)cos(ωt)
::: → Obtenemos una onda estacionaria de amplitud 2Asen(kx), donde la amplitud máxima es 2A.
::: ⇒ V

Análisis de (II)
::: Y_A + Y_C = A·(sen(kx - ωt) + sen(kx + ωt + π))
::: Y_A + Y_C = 2Asen(kx + π/2)cos(ωt + π/2)
::: Y_A + Y_C = -2Asen(kx + π/2)sen(ωt)
::: → Obtenemos una onda estacionaria.
::: ⇒ V

Análisis de (III)
::: Y_B + Y_C = A·(sen(kx + ωt) + sen(kx + ωt + π))
::: Aplicando: sen(π + α) = -senα
::: Y_B + Y_C = A·(sen(kx + ωt) - sen(kx + ωt))
::: Y_B + Y_C = 0
::: → Obtenemos una onda de amplitud cero.
::: ⇒ V

::: ∴ VVV

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Solución 020

Ecuación
::: E_fotón = φ + E_k(máx)
::: → hν = φ + |q_e|V_frenado
::: Donde
::: ν: frecuencia de la radiación
::: φ: Función Trabajo
::: V_frenado: Potencial de frenado
::: q_e: Carga del electrón. Dado que se emplean las unidades de eV para la energía, entonces |q_e| = 1
::: ⇒ hν = φ + V_frenado . . . . . (α)

Análisis de (I)
::: Piden φ (mínima energía de los fotoelectrones para escapar con Energía cinética cero)
::: Del gráfico: Cuando ν = 6×10¹⁴ → V = 0,47
::: En (α): (4,13×10^-15)(6×10¹⁴) = φ + 0,47
::: → φ ≈ 2 eV
::: ⇒ (V)

Análisis de (II)
::: En (α) con E_k(máx) = 0 (o sea V_frenado = 0): hν_o = φ , (ν_o: frecuencia umbral)
::: → 4,13×10^-15×ν_o = 2
::: → ν_o ≈ 4,84×10¹⁴ Hz
::: → Se sabe que para frecuencias menores a ν_o no hay emisiones de fotoelectrones.
::: ⇒ (V)

Análisis de (III)
::: En: hν = φ + E_k(máx)
::: (4,13×10^-15)(12×10¹⁴) = 2 + E_k(máx)
::: → E_k(máx) ≈ 2,95 eV
::: ⇒ (F)

::: ∴ VVF

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Solución 01f

::: Nos dicen que la OEM se propaga en el vacío. Por tanto su velocidad de propagación será: C = 3×10⁸ m/s
::: Se tiene: E = E_osen(kx - ωt), donde E_o es la amplitud de la onda eléctrica.
::: Similarmente: B = B_osen(kx - ωt), donde B_o es la amplitud de la onda magnética.
::: Por dato sabemos que E_o = 100.
::: Se sabe: C = E_o/B_o
::: → B_o = 100/(3×10⁸)
::: ⇒ B_o = 333×10^-9

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Solución 01e

En el ciclo de Carnot se cumple:
::: Q₂/Q₁ = T₂/T₁
::: Expresando T₁ y T₂ en K y reemplazando
::: Q₂/6×10⁴ = 400/500
::: → Q₂ = 4,8×10⁴ Cal

Trabajo ejecutado por la máquina (W)
::: W = Q₁ - Q₂
::: W = 6×10⁴ - 4,8×10⁴
::: W = 1,2×10⁴ Cal = 12×10³ Cal
::: ⇒ W = 12 KCal

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Solución 01d

Fórmula
::: P = V²/R_eq . . . . . (α)
::: Donde
::: P: Potencia
::: V: Voltaje
::: R_eq: Resistencia equivalente

::: Sea R la resistencia de los focos

Potencia en Serie (P_s)
::: R_eq = R + R = 2R
::: Usando (α): P_s = V²/2R = 100
::: ⇒ V²/R = 200 . . . . . (I)

Potencia en Paralelo (P_p)
::: 1/R_eq = 1/R + 1/R → R_eq = R/2
::: Usando (α): P_p = 2V²/R . . . . . (II)
::: Finalmente (I) en (II):
::: P_p = 400 W

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Solución 01c

Fórmula (MCUV)
::: θ = ω_ot ± (1/2)αt² . . . . . (I)
::: Donde
::: θ: Ángulo barrido
::: ω_o: Rapidez angular inicial
::: α: Aceleración angular

Dato: Completa la primera vuelta en 1 s y ω_o = 0
::: → θ = 2π ∧ t = 1
::: En (I): 2π = (1/2)α(1)²
::: ⇒ α = 4π rad/s² . . . . . (II)

Piden: Tiempo t_m en dar la primera media vuelta
::: → θ = π ∧ t_m = ?
::: En (I), usando (II): π = (1/2)·4π·t_m²
::: ⇒ t_m = 1/√2 s

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Solución 01b

Fórmula General (Para una pieza metálica)
::: L_F = L_o(1 + αΔT)
::: Donde
::: L_F: Longitud final
::: L_o: Longitud inicial
::: α: Coeficiente de dilatación lineal ( = 16,6×10^-6 ºC^-1)
::: ΔT: Variación de la temperatura ( = T_F - T_o)

El mínimo cambio de temperatura se produce cuando justo las piezas entran en contacto (como se muestra en la figura)
::: L_1F + L_2F = 2a + (a/1000) + a ; (usando los datos)
::: → 2a(1 + αΔT_min) + a(1 + αΔT_min) = 3a + (a/1000)
::: → 3aαΔT_min = (a/1000)
::: → 3×16,6×10^-6×ΔT_min = (1/1000)
::: ⇒ ΔT_min = 20.08 ºC

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Solución 01a

Fórmula General
::: T = 2π√L/g
::: Donde
::: T: Periodo del Péndulo
::: L: Longitud del Péndulo
::: g: Aceleración de la gravedad

Al inicio
::: To = 2π√Lo/g . . . . . (I)
::: → Lo = To²g/4π² . . . . . (II)

Luego de aumentar la longitud
::: To + 1 = 2π√(Lo + 2)/g . . . . . (III)
::: De (I) y (III)
::: (To + 1)/To = √(Lo + 2)/Lo
::: 2To² = (2To + 1)Lo . . . . . (IV)

Finalmente: (II) en (IV)
::: → To = (1/2)[(8π²/g) - 1]
::: ⇒ To = 3,52 s

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Solución 019

::: Sea ∠BAC = α → ∠CDB = 4α ∧ ∠ACB = 5α
::: → ∠CBD = α
::: ΔABD ~ ΔBCD
::: (x + CD)/BD = BD/CD
::: x = BD²/CD - CD . . . . . (I)

::: BD²/CD = (100/3)·[√3/(20 - 10√3)]
::: BD²/CD = (10/3)·[√3/(2 - √3)]
::: BD²/CD = (10/3)·(2√3 + 3) = (20/√3) + 10

Finalmente en (I)
::: x = (20/√3) + 10 - [(20/√3) - 10]
::: ⇒ x = 20

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Solución 018

Análisis de I
::: eⁱⁿ - 1 = 0
::: eⁱⁿ = cos(n) + isen(n) = 1
::: cos(n) = 1 → n = 2kπ, k ∈ Z
::: → n 'no ∈' N y sus valores se encuentran a lo largo de la recta real (no forman ningún polígono)
::: → (F)

Análisis de II
::: e^iθ = a + ib = cosθ + isenθ
::: a = cosθ ∧ b = senθ
::: (π/4) < θ < (3π/4)
::: Para el caso particular: θ₁ = π/2 ∈ <π/4;3π/4>
::: Se cumple que b = senθ₁ = 1 'no ∈' <√2/2 ; 1>
::: Claramente en la Fig. para (π/4) < θ < (3π/4)
::: → -(√2/2) < a < (√2/2) ∧ (√2/2) < b ≤ 1
::: → (F)

Análisis de III
::: α, β ∈ <0;2π> ∧ β > α
::: cosα = cosβ → α + β = 2π
::: → e^{i(α + β)} = e^i(2π) = 1
::: →(V)

::: ⇒ Solo III

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Solución 017

Definición de Función
::: ƒ es una función de A en B ↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B ⁄ (x;y) ∈ ƒ

Análisis de I
::: (x;y) ∈ ƒ ∧ (x;z) ∈ ƒ ⇒ y = z
::: Definición de función.
::: (Dos pares ordenados diferentes de ƒ no tienen la misma primera componente)
::: ∴ (V)

Análisis de II
::: Fig. 1: ƒ es sobreyectiva
::: pero no es inyectiva
::: ∴ (F)

Análisis de III
::: Fig. 2: ƒ es inyectiva
::: pero no es sobreyectiva
::: ∴ (F)

::: ⇒ VFF

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Solución 016

Dato
::: PB ⊥ ☐ABCD
::: M: punto medio de AD
::: N: punto medio de CD

::: Se ha trazado: BT ⊥ MN
::: → PT ⊥ MN
::: → θ = medida del diedro P-MN-B
::: tanθ = 2/BT . . . . . (I)

::: ∠NMD = ∠AMT = β = ∠SBA
::: ⊿SBA ≡ ⊿NMD
::: → AS = 1 ∴ SM = 1

BT
::: En ⊿SBA: BS = √5
::: ⊿SBA ~ ⊿SMT → ST = √5/5
::: BT = BS + ST = √5 + (√5/5)
::: ⇒ BT = 6√5/5

En (I)
::: tanθ = √5/3
::: ∴ θ = arc tan (√5/3)

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Solución 015

En la figura, BM y BN representan las longitudes de los postes que cumplen las condiciones del problema

BM
::: ∠BMA = 45º
::: Ley de Senos en ΔBMA ↓
::: (BM/sen60º) = (20/sen45º)
::: BM = 20sen60º/sen45º
::: ⇒ BM ≈ 24,5 m

BN
::: ∠BNA = 15º
::: Ley de Senos en ΔBNA ↓
::: (BN/sen60º) = (20/sen15º)
::: BN = 20sen60º/sen15º
::: ⇒ BN ≈ 66,9 m

Finalmente
::: ∴ Longitud del Poste = 24,5 m
::: Por que la otra posibilidad no aparece representada en las opciones de respuesta.

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Solución 014

::: Notación: º3 ≡ Múltiplo de 3

Análisis de I
::: m y n no son divisibles por 3 ⇒
::: m = º3 + 1 ∨ m = º3 + 2
::: n = º3 + 1 ∨ n = º3 + 2
::: Analizando todas las posibilidades se tiene que
::: (m + n) ó (m - n) es º3 ⇒ (V)

Análisis de II
::: 0 < n < m
::: 0 < 3k₁ < 3k₂ , k₁ ∧ k₂ ∈ Z⁺
::: (m/n) = (k₂/k₁) puede ser cualquier número racional que cumpla k₁ < k₂
::: (F)

Análisis de III
::: m, n >0
::: m = 3p y n = 3q
::: MCD(m,n) = MCD(3p,3q) = 3MCD(p,q) = º3
::: (V)

::: ⇒ VFV

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Solución 013

Datos
::: N₁ = 6^3a+1 × 8^a
::: N₂ = 8^a × 3^3a+1

Descomposición canónica
::: N₁ = 2^6a+1 × 3^3a+1
::: N₂ = 2^3a × 3^3a+1

Condición
::: Cantidad de divisores de N₁ = Cantidad de divisores de N₂ + 20
::: (6a + 2)(3a + 2) = (3a + 1)(3a + 2) + 20
::: 2(3a + 1)(3a + 2) = (3a + 1)(3a + 2) + 20
::: (3a + 1)(3a + 2) = 20 = 4×5
::: 3a + 1 = 4 → a = 1

Finalmente
::: ⇒ 2a - 1 = 1

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Solución 012

Factorizamos la ecuación
::: 2sen³x + sen²x - 2senx -1 = 0; 0 ≤ x ≤ 2π
::: sen²x(2senx + 1) - (2senx + 1) = 0
::: (sen²x - 1)(2senx + 1) = 0
::: (senx - 1)(senx + 1)(2senx + 1) = 0

::: Para senx = 1 → x = π/2
::: Para senx = -1 → x = 3π/2
::: Para senx = (-1/2) → x = 7π/6; x = 11π/6

Sumando
::: π/2 + 3π/2 + 7π/6 + 11π/6 = 5π

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